Bir kesir, ondalıklı yazıldığında ondalık kısımdaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu sayıya devirli ondalık sayı denir ve devreden kısmın üzerine ( - ) yazılır.
Not:
Devirli ondalık sayının rasyonel sayı olarak yazılması;
Tüm sayı - Devretmeyen Sayı
Virgülden sonraki kısmında devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0 yazılır.
Pozitif rasyonel sayılar sıralanırken üç yöntem kullanılır.
1- Eşitleme yöntemi;
- Paydaları eşit olan rasyonel sayılardan payı küçük olan daha küçüktür.
- Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası küçük olan daha küçüktür.
2- Fark yöntemi;
Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki farklar eşit ise;
- Basit kesirlerde payı küçük olan daha küçüktür.
- Bileşik kesirlerde payı küçük olan daha büyüktür.
3- Bölme yöntemi;
İki rasyonel sayının birbirine bölümünden çıkan sonuç bir basit kesir ise birinci kesir daha küçük; çıkan sonuç bir bileşik kesir ise ikinci kesir daha küçüktür. Sonuç 1 ise iki kesir birbirine eşittir.
Not: Negatif rasyonel sayılar sıralanırken sayılar pozitifmiş gibi düşünülüp sıralanır. Sonra eşitsizlik yön değiştirir.
Kesirlerin belirttiği sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayıların kümesi Q ile gösterilir.
- Her tamsayı paydası 1 olan rasyonel sayıdır.
- Rasyonel sayının işareti paya, paydaya veya kesir çizgisinin önüne yazılır.
İki veya daha fazla sayı için;
OBEB: Ortak bölenlerin en büyüğü
Okek: Ortak katların en küçüğü
ifadelerinin kısaltılmış yazılışlarıdır.
a,b,c sayılarının
OBEB i OBEB (a,b,c)
OKEK i OKEK (a,b,c) şeklinde gösterilir.
OBEB in sayıların bir böleni OKEK in ise sayıların bir katı olduğu unutulmamalıdır.
Bu yüzden cevap için
Küçük bir sayı aranıyorsa OBEB,
Büyük bir sayı aranıyorsa OKEK, olacaktır.
5 ile bölünebilme;
Birler basamağı 0 ya da 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
Kalan;
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.
41(3) 5 ile bölümünden kalan 3 tür.
261(7) 5 ile bölümünden kalan 2 dir.
9441(8) 5 ile bölümünden kalan 3 tür.
4 İle Bölünebilme;
Son iki basamağı 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünebilir.
640,1756,21304,75300,... gibi
Bu sayıların son iki basamağı 4 ün katıdır.
Kalan;
Bir sayının 4 ile bölümünden kalan, o sayının son iki basamağının 4 ile bölümünden kalana eşittir.
165, 4 ile bölümünden kalan 1 dir.
2819, 4 ile bölümünden kalan 3tür.
17202, 4 ile bölümünden kalan 2 dir.
3 ile bölünebilme;
Rakamların toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.
258 2+5+8 = 15 , 3 ün katı
541 5+4+2+1 = 12 , 3 ün katı
10827 1+0+8+2+7 = 18 , 3 ün katı
Kalan; Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, o sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
175 1+7+5 = 13 3 ile bölümünden kalan 1 dir.
857 8+5+7 = 20 3 ile bölümünden kalan 2 dir.
2 ile bölünebilme;
Birler basamağı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.
30,1976,45768,... gibi
Kalan;
Bir sayının 2 ile bölümünden kalan; sayı çift ise 0, tek ise 1 dir.
226,1378,16510,... sayıları çift olduğundan 2 ile tam bölünür, kalan 0 dır.
135,2401,64187,... sayıları tek olduğundan 2 ile tam bölünmez, kalan 1 dir.
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! şeklinde gösterilir.
1.2.3.4...n! dir.
0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
.
.
.
n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1
1 den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayı denir.
2 ile 3 aralarında asaldır.
5 ile 8 aralarında asaldır.
12 ile 25 aralarında asaldır.
16 ile 28 aralarında asaldır.
- Sayıların aralarında asal olması için sayıların asal sayı olması gerekmez.
- Ardışık doğal sayılar aralarında asaldır.
1 ile bütün sayılar aralarında asaldır.
1 ve kendisinden başka böleni olmayan 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
A = { 2,3,5,7,11,13,17,19,23,... } kümesi asal sayılar kümesidir.
- En küçük asal sayı 2 dir.
- 2 den başka asal sayı yoktur.
(abcd) ifadesinde a,b,c,d birer rakam ve x sayı tabanını göstermektedir.
- a,b,c,d rakamlarının her biri x ten küçüktür.
- x sayı tabanı 1 den büyüktür.
- x = 10 olduğunda 10 sayı tabanına yazılmaz.
Soru: İki basamaklı AB sayısının sağına 5 rakamı eklendiğinde elde edilen üç basamaklı sayı
iki sayısının 9 katından 44 fazla oluyor. Buna göre, A+B toplamları kaçtır.?
Cevap: AB5 = 9.(AB) + 44
10 (AB) + 5 = 9.(AB) + 44
AB = 39
o halde, A = 3 ve B = 9 dur.
A+B = 3+9 =12 Olur
Soru: ABC veCBA üç basamaklı sayılardır.
ABC - CBA aralarındaki fark nedir.?
Cevap: ABC - CBA
100A + 10B + C - 100C - 10B -A
99(A - C)
99 un katı olan sayılar olabilir Fakat 793, 99 'un katı değildir.
Sonuç : 793
Bir doğal sayının rakamlarının bulunduğu yere basamak denir.
Rakamların bulunduğu basamaklara göre aldığı değere basamak değeri denir.
Her rakamın kaç birlikten meydana geldiğini gösteren değere de bu rakamın sayı değeri denir.
Çözümleme:Bir sayının rakamlarının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasına çözümleme denir.
Soru: a,b,c tek sayılar olmak üzere aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır.?
Cevap: b ve c tek sayı olduğundan toplamları çift sayıdır. b+c çift sayı ise
a.(b+c) çarpımıda çift sayıdır.
buna göre cevap: a.(b+c)
Art arda belli bir kurala göre sıralanmış sayı dizisine ardışık sayılar denir.
Ardışık tamsayılar;
n bir tamsayı olmaz üzere; n,n+1,n+2,...
Ardışık çift tam sayılar;
n bir çift tamsayı olmak üzere; n,n+2,n+4,...
Ardışık tamsayılar;
n bir tamsayı olmak üzere; n,n+2,n+4,...
Yukarıdaki şekilde, sembolik olarak gösterilebilir..
Tam sayılarda iki ile tam bölünebilen sayılara çift sayı, tam bölünemeyen sayılara tek sayı denir.
Çift sayılar: Ç = { ...,-4,-2,0,2,4... }
Tek sayılar: T = { ...,-3,-1,0,1,3... }
[ n ] tam sayı olmak üzere çift sayılar 2n, tek sayılar ise 2n-1 ile gösterilir.
Soru: x,y,z pozitif tamsayılar olmak üzere;
2x = 3y
z = 3x
olduğuna göre, z nin alabileceği en küçük değer kaçtır.?
Cevap: z = 3.x ifadesinin en küçük olması için x i en küçük seçmeliyiz.
2 x = 3y --> bu eşitliği sağlayan en küçük x ve y pozitif tamsayı değeri
x = 3 ve y = 2 dir Buna göre; z = 3 x 3 = 9
Soru: 3x - [2(3x-1) - 5(x-2)] = 20 olduğuna göre, x kaçtır.?
Cevap: 3x-[2(3x-1)-5(x-2) =20
3x-[6x-2-5x+10] = 20
3x-(x+8) = 20
2x = 28
x = 14
Tam sayılar: Doğal sayılar kümesi, günlük hayatta bazı yerlerde kullandığımız negatif sayıları kapsamaz.
Örneğin; Hava sıcaklığı sıfırın altında 4 derece olduğunda buna -4 derece olarak ifade ederiz. -4 doğal sayı olmadığından bu sayıyı ifade etmek için doğal sayılarıda içerisine alan yeni bir küme tanımlamalıyız. Bu kümeye tamsayılar kümesi denilir.
Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir.
Z = [ ..., -3,-2,-1,0,1,2,3,... ]
Pozitif tam sayılar kümesi Z+ ile gösterilir.
Z+ = [ 1,2,3,... ]
Negatif tam sayılar kümesi Z- ile gösterilir.
Z- = [ ....,-3,-2,-1 ]
Buna göre;
Z = Z- { 0 } Z+ olur.
1. Sayma Sayılar: Sayma sayılar kümesi N+ ile gösterilir.
N+ = [ 1,2,3,4,5 ..... ]
Sayma sayılar kümesinin en küçük elemanı 1 dir. En büyük elemanı yoktur.
2. Doğal Sayılar: Sayma sayılar kümesine sıfır sayısının ilave edilmesiyle oluşan kümeye doğal sayılar kümesi N ile gösterilir.
N = [ 1,2,3,4,5..... ]
Doğal sayılar kümesinin en küçük elemanı 0 ( sıfır ) dır. En büyük elemanı yoktur.
Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir.
[ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ] kümesinin elemanları onluk sayma sisteminin rakamlarıdır.
Sayı: Rakamların tek başına veya bir çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesi ile oluşturulan ifadeye sayı denir.
1. Her rakam sayıdır. Fakat her sayı bir rakam değildir.
2. -1....-9 negatif birer sayıdır.Rakam değildir.
- 7 ( yedi ) bir rakam ve aynı zamanda bir sayıdır.
- 28 ( yirmi sekiz ) ise bir sayıdır, bir rakam değildir.
- 0 ( sıfır ) sayısı bütün sayıların tam katıdır.
