BİNOM AÇILIMI

BİNOM AÇILIMI

A. TANIM

n Î IN olmak üzere,



ifadesine binom açılımı denir.

Burada;



sayılarına binomun kat sayıları denir.



ifadelerinin her birine terim denir.

ifadesinde kat sayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir.


B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELİKLERİ

1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.

2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir.

3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir.

4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;

baştan (r + 1). terim :

sondan (r + 1). terim :

(x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+), 2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) ... dır.

Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir.




Ü n Î N+ olmak üzere,

(x + y)2n nin açılımında ortanca terim





Ü n Î IN+ olmak üzere,

açılımındaki sabit terim,



ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur.



Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır.



Ü (a + b + c)n nin açılımında ak . br . cm li terimin kat sayısı;

KOMBİNASYON

KOMBİNASYON

TANIM

r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.

n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı


Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.








Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:





Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;

a) Çizilebilecek doğru sayısı

b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan tane üçgen çizilebilir.

Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok farklı

noktada kesişirler.

Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.



Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan tane paralelkenar oluşur.



Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim

noktası vardır.

DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON

DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON

n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.

n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :

(n – 1)! dir.



n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının

sayısı : (n > 2)

TEKRARLI PERMÜTASYON

TEKRARLI PERMÜTASYON

n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ... , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.

n = n1 + n2 + n3 + ... + nr

olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,

FAKTÖRİYEL

FAKTÖRİYEL

1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.

0! = 1 olarak tanımlanır.

1! = 1

2! = 1 . 2

.................

.................

.................

n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 1) . n

Ü n! = n . (n – 1)!

Ü (n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)! dir.

Ü n . n! = (n + 1)! – n!

PERMÜTASYON

SAYMANIN TEMEL KURALI

1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.

KOŞULLU OLASILIK

A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir.



Bir deneyde bir A olayının olasılığı x olsun. Bu deney n kez tekrarlandığında A olayının k kez gerçekleşmesi olasılığı,

BAĞIMSIZ VE BAĞIMLI OLAYLAR

Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.

Eğer iki olay bağımsız değil ise, bu olaylara birbirine bağımlıdır denir.

Ü A ve B bağımsız iki olay olsun. A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı :

P(A Ç B) = P(A) . P(B) dir.

OLASILIK FONKSİYONU

E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi K olsun.

P : K ® [0, 1]

biçiminde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A Î K ise P(A) gerçel sayısına A olayının olasılığı denir.



Ü 1) Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir. Yani, A olayının olasılığı 0 ile 1 arasındadır.

2) İmkansız olayın olasılığı 0 ve kesin olayın olasılığı 1 dir.

3) A, B Î K ve A Ç B = Æ ise,

P(A È B) = P(A) + P(B) dir.



Ü 1)

2) A Ì B ise P(A) £ P(B) dir.

3) tümleyeni olmak üzere,



4) P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

5) A, B, C olayları E örnek uzayının ikişer ikişer ayrık bütün olayları ise,(E = A È B È C)

P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir.



Ü 1) n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, örnek uzay 2n dir.

2) n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını göstermek üzere, örnek uzay 6ndir.

OLASILIK TERİMLERİ

Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (v.b) tesbit etme işlemine deney denir.

Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir.

Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay ve örnek uzayın her bir elemanına örnek nokta denir.

Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.

Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.

Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine mutlak (kesin) olay denir.



A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun.

A Ç B = Æ

ise, A ve B olayına ayrık olay denir.

OLASILIK

A. TANIM

Olasılık, sonucu kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Bir zar atıldığında üst yüze gelen noktaların sayısının ne olacağı gibi şans oyunlarıyla ilgilenen olasılık teorisi günümüzde sosyal olaylar ve bilimsel çalışmalarda da kullanılmaktadır.